Berechnung von Fernrohrachromaten

Berechnung einfacher Fernrohrachromate

 

Im Folgenden werden einige Grundlagen zur Berechnung achromatischer Fernrohrobjektive dargestellt und einfache Beispielobjektive berechnet.

Bei der Konstruktion optischer Systeme überlegt man sich zunächst auf der Grundlage der Theorie der optischen Abbildung einen Ansatz, der dann durch mathematische Verfahren optimiert wird. Ein einfacher Achromat besteht aus zwei Linsen. Kennzeichnend für einen Fernrohrachromat ist, dass die Schnittweiten für zwei Farben gleich sind. Als Schnittweite wird die Entfernung des Schnittpunktes eines achsenparall einfallenden Strahl mit der optischen Achse vom letzten Linsenscheitel bezeichnet. Man konstruiert Achromate  gewöhnlich so, dass die Schnittweiten für das Licht von zwei Spektrallinien, das der - Linie bei 643,85nm (rotes Licht) und der - Linie bei 479,99nm (blaues Licht) gleich sind. Dies wird durch die Achromasiebedingung beschrieben:

 

(1)   

 

Die Gesamtbrennweite  eines Achromat  aus dünnen Linsen errechnet sich wie folgt aus den Brennweiten der Einzellinsen:

 

(2)   

 

Durch einsetzen von (1) in (2) und Umstellen von (2) erhält man für  und :

 

(3)    

 

Aus der Brennweite lassen sich die Radien einer dünnen Linse wie folgt berechnen:

 

(4) 

 

 

Mit diesen Beziehungen kann ein Ansatz für einen Achromat berechnet werden. Als Beispiel soll ein Achromat 100/1000 berechnet werden.  Der Achromat soll aus BK7 und F2 bestehen. Die Brechungsindizes und die Abbezahlen wurden mit Hilfe eines alten Glaskatalogs von Schott-Jena ermittelt:

 

 

 

Mit (3) ergeben sich Brennweiten von   für die positive Linse und  für die negative Flintgaslinse.

 

Zunächst wird die Konstruktion eines Achromat mit gleichen inneren Radien und einer Planfläche als letzten Radius versucht (die Linsenradien werden beginnend von der vorderen, dem Himmel zugewanden Fläche nummeriert), es gilt also:

 

 

 

Es ergeben sich mit (4) die folgenden Radien:

 

 

 

Die Achromasiebedingung stellt zwar sicher, dass bei dem so berechneten Ansatz die Schnittweiten  für rotes und blaues Licht gleich sind, aber dies reicht für ein Fernrohrobjektiv nicht aus. Mit dem Ansatz wurden nur dünne Linsen, mit einer Dicke von null berechnet. Außerdem müssen bei einem realen Objektiv noch weitere Fehler korrigiert werden. Zumindest der Öffnungsfehler muss auf der optischen Achse noch behoben werden.

Mit einem relativ einfachen Schema lassen sich ohne viel Aufwand die Meridionalstrahlen berechnen (siehe z.B. in der angegebenen Literatur).

In unserem Beispiel werden jetzt zunächst reale, dicke Linsen eingeführt. Als Mittendicke  für die erste Linse werden 15mm gewählt, als Luftabstand  zwischen den beiden Linsen wird 0,1mm gewählt und die Negativlinse soll eine Dicke von 10mm haben. Es ergeben sich also folgende Werte:

 

     

 

Wenn man diesen Ansatz mit dem Meridionalstrahlschema durchgerechnet wird, ergibt sich eine maximale Schnittweitendifferenz zwischen Strahlen mit unterschiedlichen Einfallshöhen von 0,913mm. Diese Maximale Schnittweitendifferenz über die Einfallshöhe charakterisiert den Öffnungsfehler und wird zukünftig als Öffnungsfehler bezeichnet. Die Brennweite ändert sich durch Einführung realer Linsendicken und eines realen Luftabstandes geringfügig und beträgt jetzt 997,125mm. Die chromatische Korrektur wird schlechter, die Schnittweiten für blaues und rotes Licht fallen nicht mehr zusammen, die Schnittweitendifferenz zwischen rot und blau beträgt 0,329mm. 

Damit die Schnittweiten für rotes und blaues Licht wieder zusammenfallen, wird der erste Radius geändert. Dies geht durch Probieren und man erhält jetzt folgenden geänderten Ansatz (bezeichnet als Ansatz 1):

 

 

 

Jetzt sind die Schnittweiten für rotes und blaues Licht wieder gleich. Die Schnittweitendifferenz von rotem bzw. blauem Licht  zum Brennpunkt des Grünen Lichts (Licht mit einer Wellenlänge von 546,07nm) beträgt 0,5573mm. Der Öffnungsfehler beträgt 0,79mm. Die Brennweite hat sich ebenfalls geringfügig geändert und beträgt jetzt 1018,434mm. Dieses Objektiv ist zwar Achromatisch, der Öffnungsfehler ist aber zu groß. Trotzdem würde sich dieser Ansatz für ein selbst geschliffenes Objektiv eignen. Da die inneren Radien gleich sind und der letzte Radius eine Planfläche, ist es technologisch sehr leicht herstellbar. Der Öffnungsfehler lässt sich noch verbessern, indem eine Fläche asphärisch deformiert wird (dies kann durch Probieren erfolgen). Allerdings würde die Abbildung im Bildfeld schnell schlecht. Für visuelle Beobachtungen dürfte ein kleines Bildfeld aber ausreichen (Beispiel Newtonteleskop, diese haben im Bildfeld eine wesentlich größere Koma und viele Beobachter stört das nicht).

Ein weiteres einfach herzustellendes Objektiv wäre ein Objektiv, bei dem die Beträge von  drei Radien gleich sind, bei dem also gilt .  Bei diesem Objektiv könnte der erste und zweite Radius im dritten Radius geschliffen werden. Wenn diese Radien ineinander geschliffen werden, wäre die messtechnische Überwachung dieser Radien relativ einfach, man müsste nur mit dem Foucaultschen Schneidenverfahren den konkaven dritten Radius prüfen und hätte damit alle drei Radien bestimmt.  Durch Umformen von (4) ergeben sich die Beträge für  :

 

(5)    

 

Nach Berechnung der dünnen Linsen, Einführung realer Dicken und Änderung des vierten Radius zur Erhaltung der Achromasie ergibt sich folgendes Objektiv (Ansatz 2):

 

 

 

Dieses Objektiv hat eine Brennweite von 1008,65mm und einen Öffnungsfehler von 0,281mm. Damit ist der Öffnungsfehler geringer als von Ansatz 1. Trotzdem ist dieser noch etwas hoch, könnte aber durch asphärische Deformation einer Fläche verbessert werden. Ein Objektiv mit drei gleichen Radien nach Ansatz 2 könnte auch als verkittetes Objektiv ausgeführt werden. Mit Amateurmitteln sind aber Linsen mit einem Durchmesser von 10cm nicht mehr vernünftig zu verkitten. Eine andere Möglichkeit wäre die beiden Linsen mit Öl zusammenzufügen. Ein Vorteil dieser Methode wäre, dass die beiden Radien nicht so perfekt poliert werden müssten. Außerdem würden damit Reflexe vermieden, die an den gleichen inneren Radien entstehen können.  

Mit Ansatz 1 und Ansatz 2 könnten zwar schon gute Achromate hergestellt werden, aber die Ansätze sind noch nicht die beste Lösung für ein Fernrohrobjektiv. Deshalb muss überlegt werden, wie die Ansätze verbessert werden können.  

Während sich an der Schnittweitendifferenz für die unterschiedlichen Wellenlängen nichts ändern lässt (außer man setzt andere Gläser ein), kann der Öffnungsfehler noch korrigiert werden. Das Objektiv besteht aus zwei Linsen. Die Linsenradien, die Linsendicken und der Abstand zwischen den Linsen muss so gewählt werden, dass der durch die erste Linse hervorgerufene Öffnungsfehler möglichst gut von der zweiten Linse kompensiert wird. Da der Öffnungsfehlern von mehreren Parametern gleichzeitig abhängt, geht dies durch Probieren. Da es in der Optik nur wenige exakte mathematische Ansätze zur Berechnung optischer Systeme gibt, muss diese Aufgabe durch Optimierung gelöst werden (für Fraunhoferobjektive existieren zwar solche Ansätze, durch Optimierung ist man aber in der Lösungsfindung flexibler). Professionelle Programme nutzen im Allgemeinen dazu Methoden der gedämpften kleinsten Quadrate die die Einhaltung von Nebenbedingungen gestatten (eine Nebenbedingung bei professioneller Optik ist z.B., dass die vorgegebene Brennweite bei der Korrektur erhalten bleibt). Im vorliegenden Fall reicht aber ein einfacher Gradientenabstieg vollständig aus. Diese Methode ist relativ anschaulich und ein kleines Programm dazu ist schnell geschrieben. Im vorliegenden Fall wurde als Korrekturkriterium die Summe aus 3-mal dem Betrag der Schnittweitendifferenz zwischen rotem und blauem Licht und  dem Betrag des Öffnungsfehlers gewählt. Der Faktor 3 für die Schnittweitendifferenz sorgt dafür, dass die Achromasie mit einem höheren Gewicht behandelt wird und dadurch erhalten bleibt. Für den Gradientenabstieg wird mit folgender Algorithmus verwendet:

 

Wiederholen (bis vorgegebene  Schrittanzahl oder Abbruchkriterium erreicht)

{

            Korrekturkriterium  berechnen

           

            Für alle zu variierenden Parameter

            {

                        Korrekturkriterium  für   berechnen

            }

            Für alle zu variierenden Parameter

            {

                        berechnen  von

            }

}

 

Die zu variierenden Parameter  sind die Radien, die Linsenabstände und der Luftabstand zwischen den Linsen. Zum Variieren wurde  gewählt. Als Gewichte wurde 1 für die Radien und 0,1 für die Abstände gewählt. Beim Luftabstand wurde darauf geachtet, dass dieser nicht kleiner als 0,1mm wird.

Durch die Optimierung von Ansatz 1 ergeben sich folgende Werte:

 

 

Der Öffnungsfehler hat sich jetzt wesentlich verbessert und beträgt nur noch 0,024mm. Die Brennweite für das optimierte Objektiv beträgt 1031,339mm. Dieses Objektiv ist in der Herstellung allerdings technologisch aufwändiger als Ansatz 1 und Ansatz 2, da die inneren Radien unterschiedlich sind.

 

Durch das Gradientenverfahren erreicht man immer nur ein lokales Minimum. Bei Verwendung von Ansatz 1 liegt dieses Minimum so, dass der letzte Radius unendlich ist. Ein Vergleich mit professionell berechneten Fraunhoferachromaten zeigt, dass diese einen hinteren Radius haben, der nicht unendlich ist. Deshalb ist es nahe liegend, dass ein besserer Ansatz zu besseren Ergebnissen führt. Für einen neuen Ansatz wird deshalb (unter Ausnutzung bestehender Erfahrungen bei der Berechnung von Achromaten) ein hinterer Radius von -1500mm (das 1,5-fache der Brennweite) gewählt.  Mit Hilfe von (4) erhält  man folgenden Ansatz für dünne Linsen:

 

 

Nach Einführung realer Linsendicken und Änderung von  zur Korrektur der Achromasie erhält man folgenden Ansatz 2:

 

 

 

Nach Optimierung von Ansatz 2 erhält man folgende Werte:

 

 

Dieses Objektiv hat eine Brennweite von 1005,701mm. Der Öffnungsfehler hat sich gegenüber dem optimierten Ansatz 1 nicht verbessert, er beträgt 0,0266mm. Bei diesem Objektiv ist allerdings, wie die Nachrechnung zeigt, die Korrektur im Feld besser (das Feld wurde zwar nicht korrigiert, da der Ansatz aber in der Nähe von professionell korrigierten Objektiven liegt, ist das Feld besser).

 

Für einen Selbstschliff dürfte sich Ansatz 2 am besten eignen, da dieser das beste Ergebnis bei einfacher Realisierbarkeit aufweist. Ansatz 2 dürfte sich auch nicht mehr viel optimieren lassen, da die Radien durch die Achromasiebedingung und durch die Gleichheit des Betrages von drei Radien vorgegeben sind, die Optimierung der Linsendicken und der Linsenabstand bringen bei der Korrektur eigentlich nichts. Verbessert werden könnte der Ansatz noch durch die Auswahl eines anderen Flintglases (z.B. SF2), ob es sich aber lohnt diese teuren Gläser einzusetzen, müsste sorgfältig überlegt werden. Auf alle Fälle würde Ansatz 2 ein recht gutes Objektiv ergeben, dass wesentlich besser sein dürfte als viele Billigachromate, wenn es ordentlich ausgeführt wird. Wie die Erfahrung zeigt, wird ein Objektiv bei amateurmäßiger Fertigung schnell dadurch schlecht, dass  beim Schleifen die erforderlichen Fertigungstoleranzen schwer einzuhalten sind. Durch professionelle Programme lassen sich zwar Fraunhoferachromate korrigieren, bei denen im Bildfeld die Koma korrigiert ist. Es sollte sich aber jeder überlegen, ob er die Zeit und die Messgeräte hat ein solches Objektiv mit vier unterschiedlichen Radien mit der erforderlichen Präzision herzustellen.  Es dürfte besser sein ein technologisch einfach zu schleifendes Objektiv möglichst gut auszuführen als ein optimal berechnetes Objektiv nur schlecht zusammenzuschustern. 

 Es muss noch darauf hingewiesen werden, dass die angegebenen Werte für einen Selbstschliff nicht einfach übernommen werden können, da die Glasparameter aus einem alten Glaskatalog stammen. Deshalb müssen die Ansätze mit Werten für das benutzte Glas neu berechnet werden. Perfektionisten sollten auch das Feld mit einem professionellen Programm durchrechnen, und sich eine Meinung bilden, ob man mit den Werten im Feld leben kann. Fraunhoferachromate sind in letzter Zeit so billig geworden, dass sich ein Selbstschliff aus Kostengründen nicht mehr lohnt. 

    

 

 

 

Literatur:

[1]  Haferkorn, Heinz: Optik; VEB Verlag der Wissenschaften; Berlin 1980